Années antérieures (archives)
2003/2004: Université Paris 6
Cours et TD d'analyse en DEUG MIAS 12 (1ère année,
1er semestre)
groupes 5 et 6.
Feuilles de TD
- Généralités sur les réels
( ps.gz,
pdf)
Correction exos 16,17 et 18 ( ps.gz,
pdf)
- Convergence de suites
( ps.gz,
pdf)
- Vitesse de convergence
( ps.gz,
pdf)
- Suites extraites
( ps.gz,
pdf)
- Limites, équivalents
( ps.gz,
pdf)
- Continuité
( ps.gz,
pdf)
- Dérivation
( ps.gz,
pdf)
- Fonctions usuelles
( ps.gz,
pdf)
- Formules de Taylor - DL
( ps.gz,
pdf)
Devoirs
- Pour le 07/10/2003:
ps.gz,
pdf.
- Pour le 17/10/2003:
ps.gz,
pdf
Correction :
ps.gz,
pdf.
- Pour le 09/01/2004: TD 7 exo 8 et TD 8 exo 3
Devoirs pour toute la section
Résumés des cours
Cours du 30 septembre 2003
CHAPITRE I - Topologie de R.
-
Rappels
- Sous-ensembles remarquables
- N,Z,Q, R\Q
- Densité de Q et de R\Q
dans R (sans démonstration)
- Existence du maximum dans N. Exemple: la
partie entière
- Relation d'ordre
- Respect de la somme et du produit
- Inégalité triangulaire
- Distance
- Définition d'une distance
- Exemples: distances usuelles dans R,
C, dans l'espace de dimension n; "distance
SNCF"
- Boules ouvertes, boules fermées
-
Topologie - Intervalles
- Intervalles
- Définition par la propriété de
convexité
- Description usuelle des intervalles pris comme
axiome de la construction de R
- Un exemple pour montrer que si on prend la
définition par convexité dans Q, un
intervalle ne peut pas se décrire comme dans
R
- Sous-ensembles ouverts et fermés de
R
- Voisinages
- Ouverts = voisinages de tous leurs points
- Fermés = complémentaires des ouverts
- Unions et intersections d'ouverts, de fermés
- Cas des intervalles (cohérence de la
terminologie)
-
Sous-ensembles bornés, majorés,
minorés
- Théorème de la borne
supérieure
- Ensembles majorés, minorés,
bornés
- Théorème de la borne
supérieure (démonstration à partir
de la description des intervalles)
- Ce théorème n'est pas vrai dans
Q (exemple), et peut être pris comme axiome
de la construction de R à la place de
l'axiome des intervalles
- Caractérisation de la borne supérieure
par epsilons.
CHAPITRE II - Suites numériques.
-
Convergence
- Définition des limites
- Cas d'une limite finie
- Cas d'une limite infinie
- Unicité de la limite.
Cours du 7 octobre 2003
-
CHAPITRE II - Suites numériques (suite)
-
Convergence (suite)
- Arithmétique des limites
- Cas de limites finies: valeur absolue, somme, produit,
quotient.
- Cas de limites infinies.
- Formes indeterminées, illustrées
d'exemples
- Limites dans des exponentielles (admis provisoirement) + formes
indeterminées relatives à l'exponentiation.
- Exemples de limites de suites simples,
déterminées à l'aide de la définition.
-
Propriétés des limites
- Passage à la limite dans une
inégalité
Mise en garde: Les inégalités strictes ne
se conservent pas! Exemples.
Cours du 14 octobre 2003
-
CHAPITRE II - Suites numériques (suite)
-
Propriétés des limites (suite)
- Théorème d'encadrement
Exemples
- Suites monotones
- Suites majorées, minorées, bornées
- Toute suite croissante et majorée, ou
décroissante et minorée converge dans R
- Toute suite croissante et non majorée converge
vers l'infini.
- Suites de Cauchy.
Toute suite convergente est de Cauchy.
Toute suite de Cauchy converge dans R
Attention, argument spécifique à R.
Par exemple, ce n'est pas vrai dans Q.
- Suites adjacentes. Intervalles
emboîtés.
-
Vitesse de convergence
- Équivalents
- Définition.
- C'est une relation d'équivalence
- Liens entre équivalences et limites.
Cours du 21 octobre 2003
-
CHAPITRE II - Suites numériques (suite)
-
Vitesse de convergence (suite)
- Équivalents (suite)
- Exemples dans le cas d'une limite nulle ou infinie:
deux suites peuvent avoir même limite, mais
n'être pas équivalentes.
- Exemples d'équivalents classiques.
- Attention, les équivalents ne sont pas
conservés en appliquant une fonction.
Exemple de l'exponentielle.
- Attention, on ne peut pas sommer des
équivalents.
- Produit d'équivalents.
- o et O.
- Définitions.
- Somme et produit
- Échelles de comparaison
- Vitesse de convergence
Exemples: calcul des décimales de certains
réels, complexité d'algorithmes...
-
Valeurs d'adhérence.
- Suites extraites.
- Définition, exemples.
- Si une suite converge, ses suites extraites convergent
aussi, vers la même limite.
- Valeurs d'adhérence;
- Définition, exemples.
- Caractérisation par epsilon pour des valeurs
d'adhérence finies:
a est
valeur d'adhérence d'une suite si et seulement si on
peut trouver une infinité de termes aussi proches
qu'on veut de a
- + l'infini est valeur d'adhérence si et
seulement si la suite n'est pas majorée.
- Limites supérieures, inférieures.
- La limite supérieure est la borne
inférieure de l'ensemble des a tels que seul
un nombre fini de termes de la suite sont supérieurs
à a. Si cet ensemble est vide, c'est +
infini, s'il n'est pas minoré, c'est - infini.
- Les limites supérieures et inférieures
sont des valeurs d'adhérence.
- L'ensemble des valeurs d'adhérence (dans la
droite réelle achevée) est non vide
- Corollaire: le théorème de
Bolzano-Weierstrass
- Une démonstration directe du
théorème de Bolzano-Weierstrass
Cours du 28 octobre 2003
-
CHAPITRE II - Suites numériques (suite)
-
Valeurs d'adhérence (suite)
- Limites supérieures, infés;rieures
(suite)
- La limite supérieure est le maximum des valeurs
d'adhérences.
- Arithmétique des limites supérieures et
inférieures (démonstration d'une
inégalité, pour l'exemple; le reste est
laissé en exercice.
- Suites extraites et convergence.
-
Théorème: Soit une famille de suites extraites d'une
même suite, telle que tout terme de la suite est au
moins dans une suite extraite. Alors l'ensemble des valeurs
d'adhérence de la suite est l'union des valeurs
d'adhérence des suites extraites. En particulier, si
les suites extraites convergent toute vers une même
limite, alors la suite initiale converge aussi vers cette
limite.
- Exemple typique: les termes pairs et les termes impairs.
- Adhérence d'un ensemble, densité.
Définitions, en vue de l'étude des limites
de fonctions.
-
CHAPITRE III - Fonctions continues
-
Limites
- Définitions par epsilon
Limites finies, infinies en un point fini, infini.
- Exemples: fonction constante, inverse,
identité...
Cours du 4 novembre 2003
-
CHAPITRE III - Fonctions continues (suite)
-
Limites (suite)
- Unicité de la limite
- Relation avec les limites de suites
Une fonction f admet une limite b
lorsque x
tend vers a si et seulement si pour TOUTE
suite convergeant vers a , son image par f
converge vers b.
- Arithmétique des limites comme
corollaire du
point précédent:
valeur absolue, somme, produit, quotient, composition.
-
Continuité
- Définitions par les limites, puis par
epsilon
Continuité en un point, sur un sous-ensemble de
l'intervalle de définition, par exemple sur un
intervalle
- Exemples
- Exemples de fonctions continues: constante, inverse,
identité etc.
- Exemple de fonctions discontinues en un point: la
fonction nulle partout sauf en 0
- Comment montrer qu'une fonction n'est pas continue en
un point: en niant la définition par epsilon, ou en
utilisant la caractérisation avec les suites.
- Cas de deux fonctions coincidant sur un intervalle
OUVERT: si l'une est continue sur cet intervalle, l'autre
aussi.
- Arithmétique des fonctions continues:
somme, produit, quotient, composition.
Cours du 18 novembre 2003
-
CHAPITRE III - Fonctions continues (suite)
-
Continuité (suite)
- D'autres exemples: fonctions puissances
entières, polynômes, fractions rationnelles,
logarithme et exponentielle, puissances réelles,
fonctions trigonométriques et hyperboliques.
-
Limites à droite et à gauche
- Définitions
- Une fonction admet une limite en a si et seulement les
limites à droite et à gauche existent et sont
égales, et égales à f(a) si
f est défini en a
- Une fonction monotone admet des limites à gauche
et à droite partout où elles peuvent
être définies.
-
Comparaisons de fonctions
- Passage à la limite dans une
égalité
- Théorème de passage à la
limite. Puisque les limites doivent être
supposées exister, il suffit que
l'inégalité soit vérifiée sur
une suite tendant vers a.
- Théorème d'encadrement
- Exemple: limite en 0 de sin x / x,
de maniè entièrement
géométrique.
- O et o (notation de Landau)
- Définition de f=O(g) au voisinage
d'un point a.
- Propriétés arithmétiques des
O (somme, produit, composition)
- Définition de f=o(g) au voisinage
d'un point a.
- Propriétés arithmétiques des
o (somme, produit, composition)
- Équivalents
- Définition en termes de o.
- Définition en termes de limites dans le cas
de fonctions ne s'annulant pas au voisinage de
a.
- Propriétés arithmétiques des
équivalents (produit, composition)
NE PAS SOMMER DES ÉQUIVALENTS.
- Exemples classiques: fonctions polynomiales,
rationnelles en l'infini; fonctions
trigonométriques en 0; logarithme et
exponentielle.
-
Fonctions continues sur un intervalle
- Fonctions majorées
- Fonctions majorées, minorées,
bornées
- Borne supérieure, inférieure d'une
fonction
- Maximum absolu, strict, local.
- Fonction continue sur un intervalle fermé
borné
Une fonction continue sur un intervalle fermé
borné est bornée et atteint ses bornes
Cours du 25 novembre 2003
-
CHAPITRE III - Fonctions continues (suite)
-
Fonctions continues sur un intervalle (suite)
- Théorème des valeurs
intermédiaires
Version 1: f continue sur [a,b], et
f(a), f(b) de signe opposé, alors f
s'annule sur [a,b]. (Démonstration par
dichotomie)
Version 2: L'image par une fonction continue d'un
intervalle est un intervalle
Cas particulier: L'image par une fonction continue
d'un intervalle fermé borné est un intervalle
fermé borné.
- Homéomorphismes
Théorème de la bijection: Soit f
une fonction continue et strictement croissante sur un
intervalle I. Alors f(I) est un intervalle
(dont on peut déterminer les
extrémités), f est une bijection de
I sur f(I), et sa réciproque est
continue.
-
Continuité uniforme.
- Définition. Exemples.
- Théorème de Heine: Une fonction
continue sur un intervalle fermé borné est
uniformément continue sur cet intervalle.
-
CHAPITRE IV - Dérivabilité
-
Définitions, propriétés
élémentaires.
- Définitions.
- Notion d'intérieur d'un ensemble
- Dérivabilité en un point
intérieur au domaine de définition.
- Dérivabilité à gauche, à
droite.
Une fonction est dérivable en un point
intérieur au domaine de définition si et
seulement si elle est dérivable à gauche et à
droite, et que ces dérivées sont les
mêmes.
- Dérivabilité sur un sous-ensemble de
l'ensemble de définition. Exemple de la
dérivabilité sur un intervalle (ouvert,
fermé)
- Exemples: la fonction constante,
identité,
sinus.
- Dérivabilité et
continuité.
une fonction dérivable en x est
continue en x .
- Dérivées d'ordre
supérieur
Fonctions de classe Cn sur un intervalle.
-
Fonctions dérivables sur un intervalle.
- Théoréme de Rolle
- Théoréme des accroissements finis
(énoncé)
Inégalité des accroissements
finis.
Cours du 2 décembre 2003
-
CHAPITRE IV - Dérivabilité
-
Fonctions dérivables sur un intervalle
(suite)
- Démonstration du théorème des
accroissements finis
- Sens de variation:
Soit f dérivable sur un intervalle
I. f est croissante sur I ssi f' est
positive
Si f'>0, f est strictement croissante
- Applications:
- f est constante sur un intervalle fermé
borné ssi f'=0.
- Notion de primitive: 2 primitives d'une fonction
diffèrent d'une fonction localement constante,
c'est-à-dire d'une fonction constante sur chaque
intervalle contenu dans le domaine de définition
- Unicité d'une primitive telle que
F(a)=b.
- Définition du logarithme comme primitive de la
fonction inverse. Étude des propriétés élémentaires du
logarithme.
-
Règles de calcul
- Dérivation d'une combinaision
linéaire
- Dérivation d'un produit
Exemple : fontion puissance n.
- Cas où f et fg sont
dérivables
Exemple : fonction inverse
- Dérivation d'une composition
Exemple : cosinus
- Dérivation d'un inverse comme
corollaire du point
précédent
- Dérivation d'un quotient
Exemple : tangente
- Dérivation d'une fonction
réciproque.
Cours du 9 décembre 2003
-
CHAPITRE IV - Dérivabilité (suite)
-
Règles de calcul (suite)
- Cas des fonctions de classe Cn
Notamment: formule de Leibniz.
-
Fonctions usuelles
- Logarithme et exponentielle
- Définition de l'exponentielle comme réciproque de
ln.
- Dérivée de l'exponentielle.
- Branches infinies.
- Comportement en 0.
- Fonctions puissances.
- Réciproques des fonctions
trigonométriques
- Arcsin :
Définition, dérivée, parité, comportement en 0, graphe.
- Arccos :
Définition, dérivée, parité, comportement en 0, graphe.
- Arctan :
Définition, dérivée, parité, comportement en 0, graphe.
- Fonctions hyperboliques
- sh et ch :
Définition, dérivée, étude, graphe.
- th et coth :
Définition, dérivée, étude, graphe.
- Formules :
sh(x+y), ch(x+y), th(x+y),
ch^2(x) - sh^2(x)=1.
- Réciproques des fonctions hyperboliques
- Argsh :
Définition, dérivée, graphe.
- Argch :
Définition, dérivée, graphe.
- Argth :
Définition, dérivée, graphe.
- Récapitulatif des formules de dérivation des fonctions
étudiées dans les paragraphes précédents
- Remarques :
- Possibilité d'exprimer Argsh, Argch et Argth
à
l'aide du ln.
- En général Arcsin(sin x) n'est
pas égal à
x. Idem pour les autres.
-
CHAPITRE V - Approximations polynomiales
-
Formules de Taylor
- Développement de Taylor
- Détermination de l'unique polynôme de degré n
dont les dérivées
successives en a sont les mêmes que celles de
f, jusqu'à l'ordre n.
- Définition du développement de Taylor à l'ordre n
au voisinage de a d'une fonction f.
- Définition du reste de Taylor à l'ordre n
au voisinage de a d'une fonction f.
- Notion de série
- Cas où le reste de Taylor tend vers 0 lorsque n
tend vers l'infini: en un point x, sur un
voisinage de a.
- Fonction développable en série de Taylor
- Conclusion: de l'intérêt d'estimations du reste de
Taylor.