• 2013/14
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• 2004-08
• < 2004

2003/2004: Université Paris 6

Cours et TD d'analyse en DEUG MIAS 12 (1^ère année, 1^er semestre) groupes 5 et 6.

Résumés des cours

Cours du 30 septembre 2003

CHAPITRE I - Topologie de R.

• Rappels

  • Sous-ensembles remarquables
    • N,Z,Q, R\Q
    • Densité de Q et de R\Q dans R (sans démonstration)
    • Existence du maximum dans N. Exemple: la partie entière
  • Relation d'ordre
    • Respect de la somme et du produit
    • Inégalité triangulaire
  • Distance
    • Définition d'une distance
    • Exemples: distances usuelles dans R, C, dans l'espace de dimension n; "distance SNCF"
    • Boules ouvertes, boules fermées

• Topologie - Intervalles

  • Intervalles
    • Définition par la propriété de convexité
    • Description usuelle des intervalles pris comme axiome de la construction de R
    • Un exemple pour montrer que si on prend la définition par convexité dans Q, un intervalle ne peut pas se décrire comme dans R
  • Sous-ensembles ouverts et fermés de R
    • Voisinages
    • Ouverts = voisinages de tous leurs points
    • Fermés = complémentaires des ouverts
    • Unions et intersections d'ouverts, de fermés
    • Cas des intervalles (cohérence de la terminologie)

• Sous-ensembles bornés, majorés, minorés

  • Théorème de la borne supérieure
    • Ensembles majorés, minorés, bornés
    • Théorème de la borne supérieure (démonstration à partir de la description des intervalles)
    • Ce théorème n'est pas vrai dans Q (exemple), et peut être pris comme axiome de la construction de R à la place de l'axiome des intervalles
  • Caractérisation de la borne supérieure par epsilons.

CHAPITRE II - Suites numériques.

• Convergence

  • Définition des limites
    • Cas d'une limite finie
    • Cas d'une limite infinie
  • Unicité de la limite.

Cours du 7 octobre 2003

• CHAPITRE II - Suites numériques (suite)

  • Convergence (suite)

    • Arithmétique des limites
      • Cas de limites finies: valeur absolue, somme, produit, quotient.
      • Cas de limites infinies.
      • Formes indeterminées, illustrées d'exemples
      • Limites dans des exponentielles (admis provisoirement) + formes indeterminées relatives à l'exponentiation.
    • Exemples de limites de suites simples, déterminées à l'aide de la définition.

  • Propriétés des limites

    • Passage à la limite dans une inégalité
      Mise en garde: Les inégalités strictes ne se conservent pas! Exemples.

Cours du 14 octobre 2003

• CHAPITRE II - Suites numériques (suite)

  • Propriétés des limites (suite)

    • Théorème d'encadrement
      Exemples
    • Suites monotones
      • Suites majorées, minorées, bornées
      • Toute suite croissante et majorée, ou décroissante et minorée converge dans R
      • Toute suite croissante et non majorée converge vers l'infini.
    • Suites de Cauchy.
      Toute suite convergente est de Cauchy.
      Toute suite de Cauchy converge dans R
      Attention, argument spécifique à R. Par exemple, ce n'est pas vrai dans Q.
    • Suites adjacentes. Intervalles emboîtés.

  • Vitesse de convergence

    • Équivalents
      • Définition.
      • C'est une relation d'équivalence
      • Liens entre équivalences et limites.

Cours du 21 octobre 2003

• CHAPITRE II - Suites numériques (suite)

  • Vitesse de convergence (suite)

    • Équivalents (suite)
      • Exemples dans le cas d'une limite nulle ou infinie: deux suites peuvent avoir même limite, mais n'être pas équivalentes.
      • Exemples d'équivalents classiques.
      • Attention, les équivalents ne sont pas conservés en appliquant une fonction.
        Exemple de l'exponentielle.
      • Attention, on ne peut pas sommer des équivalents.
      • Produit d'équivalents.
    • o et O.
      • Définitions.
      • Somme et produit
      • Échelles de comparaison
      • Vitesse de convergence
        Exemples: calcul des décimales de certains réels, complexité d'algorithmes...

  • Valeurs d'adhérence.

    • Suites extraites.
      • Définition, exemples.
      • Si une suite converge, ses suites extraites convergent aussi, vers la même limite.
    • Valeurs d'adhérence;
      • Définition, exemples.
      • Caractérisation par epsilon pour des valeurs d'adhérence finies:
        a est valeur d'adhérence d'une suite si et seulement si on peut trouver une infinité de termes aussi proches qu'on veut de a
      • + l'infini est valeur d'adhérence si et seulement si la suite n'est pas majorée.
    • Limites supérieures, inférieures.
      • La limite supérieure est la borne inférieure de l'ensemble des a tels que seul un nombre fini de termes de la suite sont supérieurs à a. Si cet ensemble est vide, c'est + infini, s'il n'est pas minoré, c'est - infini.
      • Les limites supérieures et inférieures sont des valeurs d'adhérence.
      • L'ensemble des valeurs d'adhérence (dans la droite réelle achevée) est non vide
      • Corollaire: le théorème de Bolzano-Weierstrass
      • Une démonstration directe du théorème de Bolzano-Weierstrass

Cours du 28 octobre 2003

• CHAPITRE II - Suites numériques (suite)

  • Valeurs d'adhérence (suite)

    • Limites supérieures, infés;rieures (suite)
      • La limite supérieure est le maximum des valeurs d'adhérences.
      • Arithmétique des limites supérieures et inférieures (démonstration d'une inégalité, pour l'exemple; le reste est laissé en exercice.
    • Suites extraites et convergence.
      • Théorème: Soit une famille de suites extraites d'une même suite, telle que tout terme de la suite est au moins dans une suite extraite. Alors l'ensemble des valeurs d'adhérence de la suite est l'union des valeurs d'adhérence des suites extraites. En particulier, si les suites extraites convergent toute vers une même limite, alors la suite initiale converge aussi vers cette limite.
      • Exemple typique: les termes pairs et les termes impairs.
    • Adhérence d'un ensemble, densité.
      Définitions, en vue de l'étude des limites de fonctions.

• CHAPITRE III - Fonctions continues

  • Limites

    • Définitions par epsilon
      Limites finies, infinies en un point fini, infini.
    • Exemples: fonction constante, inverse, identité...

Cours du 4 novembre 2003

• CHAPITRE III - Fonctions continues (suite)

  • Limites (suite)

    • Unicité de la limite
    • Relation avec les limites de suites
      Une fonction f admet une limite b lorsque x tend vers a si et seulement si pour TOUTE suite convergeant vers a , son image par f converge vers b.
    • Arithmétique des limites comme corollaire du point précédent:
      valeur absolue, somme, produit, quotient, composition.

  • Continuité

    • Définitions par les limites, puis par epsilon
      Continuité en un point, sur un sous-ensemble de l'intervalle de définition, par exemple sur un intervalle
    • Exemples
      • Exemples de fonctions continues: constante, inverse, identité etc.
      • Exemple de fonctions discontinues en un point: la fonction nulle partout sauf en 0
      • Comment montrer qu'une fonction n'est pas continue en un point: en niant la définition par epsilon, ou en utilisant la caractérisation avec les suites.
      • Cas de deux fonctions coincidant sur un intervalle OUVERT: si l'une est continue sur cet intervalle, l'autre aussi.
    • Arithmétique des fonctions continues:
      somme, produit, quotient, composition.

Cours du 18 novembre 2003

• CHAPITRE III - Fonctions continues (suite)

  • Continuité (suite)

    • D'autres exemples: fonctions puissances entières, polynômes, fractions rationnelles, logarithme et exponentielle, puissances réelles, fonctions trigonométriques et hyperboliques.

  • Limites à droite et à gauche

    • Définitions
    • Une fonction admet une limite en a si et seulement les limites à droite et à gauche existent et sont égales, et égales à f(a) si f est défini en a
    • Une fonction monotone admet des limites à gauche et à droite partout où elles peuvent être définies.

  • Comparaisons de fonctions

    • Passage à la limite dans une égalité
      • Théorème de passage à la limite. Puisque les limites doivent être supposées exister, il suffit que l'inégalité soit vérifiée sur une suite tendant vers a.
      • Théorème d'encadrement
      • Exemple: limite en 0 de sin x / x, de maniè entièrement géométrique.
    • O et o (notation de Landau)
      • Définition de f=O(g) au voisinage d'un point a.
      • Propriétés arithmétiques des O (somme, produit, composition)
      • Définition de f=o(g) au voisinage d'un point a.
      • Propriétés arithmétiques des o (somme, produit, composition)
    • Équivalents
      • Définition en termes de o.
      • Définition en termes de limites dans le cas de fonctions ne s'annulant pas au voisinage de a.
      • Propriétés arithmétiques des équivalents (produit, composition)
        NE PAS SOMMER DES ÉQUIVALENTS.
      • Exemples classiques: fonctions polynomiales, rationnelles en l'infini; fonctions trigonométriques en 0; logarithme et exponentielle.

  • Fonctions continues sur un intervalle

    • Fonctions majorées
      • Fonctions majorées, minorées, bornées
      • Borne supérieure, inférieure d'une fonction
      • Maximum absolu, strict, local.
    • Fonction continue sur un intervalle fermé borné
      Une fonction continue sur un intervalle fermé borné est bornée et atteint ses bornes

Cours du 25 novembre 2003

• CHAPITRE III - Fonctions continues (suite)

  • Fonctions continues sur un intervalle (suite)

    • Théorème des valeurs intermédiaires
      Version 1: f continue sur [a,b], et f(a), f(b) de signe opposé, alors f s'annule sur [a,b]. (Démonstration par dichotomie)
      Version 2: L'image par une fonction continue d'un intervalle est un intervalle
      Cas particulier: L'image par une fonction continue d'un intervalle fermé borné est un intervalle fermé borné.
    • Homéomorphismes
      Théorème de la bijection: Soit f une fonction continue et strictement croissante sur un intervalle I. Alors f(I) est un intervalle (dont on peut déterminer les extrémités), f est une bijection de I sur f(I), et sa réciproque est continue.

  • Continuité uniforme.

    • Définition. Exemples.
    • Théorème de Heine: Une fonction continue sur un intervalle fermé borné est uniformément continue sur cet intervalle.

• CHAPITRE IV - Dérivabilité

  • Définitions, propriétés élémentaires.

    • Définitions.
      • Notion d'intérieur d'un ensemble
      • Dérivabilité en un point intérieur au domaine de définition.
      • Dérivabilité à gauche, à droite.
        Une fonction est dérivable en un point intérieur au domaine de définition si et seulement si elle est dérivable à gauche et à droite, et que ces dérivées sont les mêmes.
      • Dérivabilité sur un sous-ensemble de l'ensemble de définition. Exemple de la dérivabilité sur un intervalle (ouvert, fermé)
    • Exemples: la fonction constante, identité, sinus.
    • Dérivabilité et continuité.
      une fonction dérivable en x est continue en x .
    • Dérivées d'ordre supérieur
      Fonctions de classe Cⁿ sur un intervalle.

  • Fonctions dérivables sur un intervalle.

    • Théoréme de Rolle
    • Théoréme des accroissements finis (énoncé)
      Inégalité des accroissements finis.

Cours du 2 décembre 2003

• CHAPITRE IV - Dérivabilité

  • Fonctions dérivables sur un intervalle (suite)

    • Démonstration du théorème des accroissements finis
    • Sens de variation:
      Soit f dérivable sur un intervalle I. f est croissante sur I ssi f' est positive
      Si f'>0, f est strictement croissante
    • Applications:
      • f est constante sur un intervalle fermé borné ssi f'=0.
      • Notion de primitive: 2 primitives d'une fonction diffèrent d'une fonction localement constante, c'est-à-dire d'une fonction constante sur chaque intervalle contenu dans le domaine de définition
      • Unicité d'une primitive telle que F(a)=b.
      • Définition du logarithme comme primitive de la fonction inverse. Étude des propriétés élémentaires du logarithme.

  • Règles de calcul

    • Dérivation d'une combinaision linéaire
    • Dérivation d'un produit
      Exemple : fontion puissance n.
    • Cas où f et fg sont dérivables
      Exemple : fonction inverse
    • Dérivation d'une composition
      Exemple : cosinus
    • Dérivation d'un inverse comme corollaire du point précédent
    • Dérivation d'un quotient
      Exemple : tangente
    • Dérivation d'une fonction réciproque.

Cours du 9 décembre 2003

• CHAPITRE IV - Dérivabilité (suite)

  • Règles de calcul (suite)

    • Cas des fonctions de classe Cⁿ
      Notamment: formule de Leibniz.

  • Fonctions usuelles

    • Logarithme et exponentielle
      • Définition de l'exponentielle comme réciproque de ln.
      • Dérivée de l'exponentielle.
      • Branches infinies.
      • Comportement en 0.
      • Fonctions puissances.
    • Réciproques des fonctions trigonométriques
      • Arcsin :
        Définition, dérivée, parité, comportement en 0, graphe.
      • Arccos :
        Définition, dérivée, parité, comportement en 0, graphe.
      • Arctan :
        Définition, dérivée, parité, comportement en 0, graphe.
    • Fonctions hyperboliques
      • sh et ch :
        Définition, dérivée, étude, graphe.
      • th et coth :
        Définition, dérivée, étude, graphe.
      • Formules :
        sh(x+y), ch(x+y), th(x+y), ch^2(x) - sh^2(x)=1.
    • Réciproques des fonctions hyperboliques
      • Argsh :
        Définition, dérivée, graphe.
      • Argch :
        Définition, dérivée, graphe.
      • Argth :
        Définition, dérivée, graphe.
    • Récapitulatif des formules de dérivation des fonctions étudiées dans les paragraphes précédents
    • Remarques :
      • Possibilité d'exprimer Argsh, Argch et Argth à l'aide du ln.
      • En général Arcsin(sin x) n'est pas égal à x. Idem pour les autres.
  
  

• CHAPITRE V - Approximations polynomiales

  • Formules de Taylor

    • Développement de Taylor
      • Détermination de l'unique polynôme de degré n dont les dérivées successives en a sont les mêmes que celles de f, jusqu'à l'ordre n.
      • Définition du développement de Taylor à l'ordre n au voisinage de a d'une fonction f.
      • Définition du reste de Taylor à l'ordre n au voisinage de a d'une fonction f.
      • Notion de série
      • Cas où le reste de Taylor tend vers 0 lorsque n tend vers l'infini: en un point x, sur un voisinage de a.
      • Fonction développable en série de Taylor
      • Conclusion: de l'intérêt d'estimations du reste de Taylor.